第十三讲循环问题

第十三讲循环小朋友们，你留意过循环问题吗？在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现的现象。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断重复出现的。在数学中，也常会碰到一些重复出现的问题。在研究这些问题时，我们不仅要判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，而更重要的是看它的余数。如1999年元旦是星期五，2000年元旦是星期几？因为1999年是平年，有365天，365÷7=52……1，所以2000年的元旦是星期六。这就是根据365除以7所得的余数来判定的。那么，就让我们一起来看看怎么来解决这一类的问题。典型例题例[1]流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白……像这样继续下去，到第2003个小球该涂什么颜色？分析小木球涂色的次序是：“5红，4黄，3绿，2黑，1白”，也就是每涂过“5红，4黄，3绿，2黑，1白”循环一次，给小木球涂色的周期是5+4+3+2+1=15。所以只要用2003除以15，根据余数就可以判断球的颜色。解2003÷15=133……8这就是说，第1999个小木球出现在上面所列一个周期中的第8个，所以第2003个小球涂的是黄色。例[2]有一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，…（1）第81个数是多少？（2）这81个数相加的和是多少？分析（1）从排列可以看出这组数是按7，0，2，5，3依次重复排列的，那么一个循环周期就有5个数。（2）之和是7+0+2+5+3=17。用每个循环各数之和可以循环次数再加上余下的各数，即可得到答案。解（1）81÷5=16……1按照循环次序可知：第81个数为7。（2）17×16+7=279所以这81个数相加的和为279例[3]假设所有自然数排列起来如下图所示，55应排在哪个字母下面？248应排在哪个字母下面？ABCD123456789101112...